Question

4．已知函数φ（x）=x²+ax+b，f（x）=$\frac{φ（x）-ax}{x}$．
（1）当f（1）=f（4），函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x₀，且x₀＞0时，求k的值；
（2）求证：存在x₀∈[-1，1]，使|φ（x₀）|≥|a|．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=f（4），求出b，结合基本不等式，利用函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x₀，且x₀＞0时，求k的值；
（2）由题意，a=$\frac{1}{2}$[φ（1）-φ（-1）]，即可证明存在x₀∈[-1，1]，使|φ（x₀）|≥|a|．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{φ（x）-ax}{x}$=$\frac{{x}^{2}+b}{x}$，
∵f（1）=f（4），
∴$\frac{1+b}{1}$=$\frac{16+b}{4}$，
解得，b=4；
故f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$，
当x＞0时，$\frac{{x}^{2}+4}{x}$≥4；
∵函数F（x）=f（x）-k有且仅有一个零点x₀，且x₀＞0，
∴k=4；
（2）证明：由题意，a=$\frac{1}{2}$[φ（1）-φ（-1）]，
∴x₀∈[-1，1]，|φ（x₀）|≥|$\frac{1}{2}$[φ（1）+φ（-1）]|≥|$\frac{1}{2}$[φ（1）-φ（-1）]|
∴存在x₀∈[-1，1]，使|φ（x₀）|≥|a|．

点评 本题考查函数值的计算，考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，属于中档题．