Question

9．己知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=-1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=a^f（x）+tx²-2t+1在区间（-1，2]上有零点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得log_a2-2log_a（2+t）=0，从而解得．
（2）由题意得log_a（x+1）≤2log_a（2x-1），由对数函数的单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥（2x-1）^{2}}\\{2x-1＞0}\end{array}\right.$，从而解得．
（3）化简F（x）=tx²+x-2t+2，从而令tx²+x-2t+2=0，讨论可得$\frac{1}{t}$=-$\frac{{x}^{2}-2}{x+2}$=-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4，从而解得．

解答 解：（1）∵1是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，
∴log_a2-2log_a（2+t）=0，
∴2=（2+t）²，
∴t=$\sqrt{2}$-2；
（2）当0＜a＜1且t=-1时，
不等式f（x）≤g（x）可化为
log_a（x+1）≤2log_a（2x-1），
故$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥（2x-1）^{2}}\\{2x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得，$\frac{1}{2}$＜x≤$\frac{5}{4}$；
（3）F（x）=a^f（x）+tx²-2t+1
=x+1+tx²-2t+1=tx²+x-2t+2，
令tx²+x-2t+2=0，
即t（x²-2）=-（x+2），
∵x∈（-1，2]，∴x+2∈（1，4]，
∴t≠0，x²-2≠0；
∴$\frac{1}{t}$=-$\frac{{x}^{2}-2}{x+2}$=-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4，
∵2$\sqrt{2}$≤（x+2）+$\frac{2}{x+2}$≤$\frac{9}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤-[（x+2）+$\frac{2}{x+2}$]+4≤4-2$\sqrt{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{t}$≤4-2$\sqrt{2}$，
∴t≤-2或t≥$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了对数函数的性质的判断与应用，同时考查了复合函数的性质的判断与应用及不等式的解法．