题目内容
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点，求证：平面ADE⊥平面A1FD1．
考点：平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：由已知得AD⊥平面DCC1D1，从而AD⊥D1F，取AB中点G，由已知条件推导出A1G⊥AE，从而D1F⊥AE，进而D1F⊥平面ADE，由此能证明平面A1FD1⊥平面ADE．
解答：
证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以AD⊥平面DCC1D1，
又D1F?平面DCC1D1，所以AD⊥D1F，
取AB中点G，
连接A1G、FG，因为F为CD中点，
所以FG
AD
A1D1，所以A1G∥D1F，
因为E是BB1中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
所以∠AA1G=∠HAG，∠AHA1=90°，
即A1G⊥AE，所以D1F⊥AE，因为AD∩AE=A，
所以D1F⊥平面ADE，
所以D1F?平面A1FD1，
所以平面A1FD1⊥平面ADE．
所以AD⊥平面DCC1D1，
又D1F?平面DCC1D1，所以AD⊥D1F，
取AB中点G，
连接A1G、FG，因为F为CD中点，
所以FG
| ||
. |
| ||
. |
因为E是BB1中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
所以∠AA1G=∠HAG，∠AHA1=90°，
即A1G⊥AE，所以D1F⊥AE，因为AD∩AE=A，
所以D1F⊥平面ADE，
所以D1F?平面A1FD1，
所以平面A1FD1⊥平面ADE．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
相关题目