Question

在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+2（n∈N*），a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．记b_n=

1

anan+1

（n∈N*）
（1）数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为R_n．是否存在正整数k，使得R_k≥2^k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由a_n+1=a_n+2（n∈N^*），利用等差数列的通项公式可得a_n=a₁+2（n-1），由于a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，利用等比数列的通项公式可得

a

2 5

=a₂•a₁₄，即(a1+8)2=（a₁+2）（a₁+26），解得a₁即可得出．
（II）由于b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”可得R_n=

n

2n+1

．假设存在正整数k，使得R_k≥2^k成立．即

k

2k+1

≥2k，而

k

2k+1

=

1

2+ 1 k

∈[

1

3

，

1

2

)，即可判断出．

解答： 解：（I）∵a_n+1=a_n+2（n∈N^*），
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，a_n=a₁+2（n-1），
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴

a

2 5

=a₂•a₁₄，
∴(a1+8)2=（a₁+2）（a₁+26），解得a₁=1．
∴a_n=2n-1．
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴R_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
假设存在正整数k，使得R_k≥2^k成立．
则

k

2k+1

≥2k，
而

k

2k+1

=

1

2+ 1 k

∈[

1

3

，

1

2

)，
而2^k≥2，
∴不存在正整数k，使得R_k≥2^k成立．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．