Question

已知双曲线C₁与椭圆C₂的公共焦点F₁、F₂在x轴上，点A是C₁、C₂在第一象限的公共点，若F₁F₂=F₁A，C₂的离心率是

2

3

，则双曲线C₁的渐近线方程是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线C₁的半焦距为c，半实轴长为a，椭圆C₂的半焦距为c，半实轴长为a'，运用双曲线和椭圆的定义，结合离心率公式，求得c=2a，再由双曲线的a，b，c的关系，即可得到渐近线方程．

解答： 解：设双曲线C₁的半焦距为c，半实轴长为a，
椭圆C₂的半焦距为c，半实轴长为a'，
则由双曲线的定义可得，AF₁-AF₂=2a，
由椭圆的定义可得，AF₁+AF₂=2a'，
解得AF₁=a+a'，
由于F₁F₂=F₁A，则2c=a+a'．
C₂的离心率是

2

3

，则有

c

a′

=

2

3

，
即有a'=

3

2

c，
即有a=2c-

3

2

c=

1

2

c，
双曲线的b=

c2-a2

=

3

a，
则双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
即为y=±

3

x．
故答案为：y=±

3

x．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查离心率公式的运用，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题和易错题．