Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD与底面ABCD垂直，E为PA的中点．
（1）求证：CD⊥PA；
（2）求证：DE∥平面PBC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱锥的结构特征,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的性质定理即可得到结论．
（2）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面PBC

解答： 证明：（1）∵AD⊥AB，CD∥AB，
∴CD⊥AD…（2分）
又∵侧面PAD与底面ABCD垂直且交线为AD，
∴CD垂直侧面PAD…（4分）
又∵PA?平面PAD∴CD⊥PA…（6分）
（2）如图，取AB的中点F，连结DF，EF，
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
∴BF∥CD，且BF=CD，
则四边形BCDF为平行四边形，
则DF∥BC，
∵BC?平面PBC，DF?平面PBC，
∴DF∥平面PBC．
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，
∴EF∥PB．…（9分）
又∵PB?平面PBC，EF?平面PBC
∴EF∥平面PBC．
又∵DFEF=F，
∴平面DEF∥平面PBC．…（11分）
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面PBC．…（12分）
证法二：取PB的中点M，边CM，EM
在△PAB中，PE=EA，PM=MB，
∴EM∥AB，EM=

1

2

AB…（8分）
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
∴CD=

1

2

AB，CD∥AB
∴EM

∥ .

.

CD…（9分）
∴四边形CDEM为平行四边形，
∴DE∥CM．…（10分）
又∵CM?平面PBC，DE?平面PBC
∴DE∥平面PBC…（12分）

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及线面垂直的性质，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．