Question

19．若$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow{b}$=（-4，7），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=0，则$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$-\frac{\sqrt{65}}{5}$．

Answer 1

分析 根据条件即可得到$\overrightarrow{c}=（-2，-3）$，从而可求出$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}$及$|\overrightarrow{b}|$的值，而$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，从而得出该投影的值．

解答 解：$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}=（-2，-3）$；
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}=8-21=-13$，且$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{65}$；
∴$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为：
$|\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{b}＞$=$|\overrightarrow{c}|•\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=-\frac{13}{\sqrt{65}}=-\frac{\sqrt{65}}{5}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{65}}{5}$．

点评 考查向量坐标的数乘和数量积运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及投影的定义及计算公式．