Question

4．已知函数f（x）=$（\frac{1}{2}）^{|x+m-1|}$是偶函数，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x≥0}\\{{x}^{2}+2x+m}&{x＜0}\end{array}\right.$，则方程g（x）=|x+$\frac{3}{4}$|实数根的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据f（x）是偶函数可得m=1，作出g（x）与y=|x+$\frac{3}{4}$|的函数图象，根据图象交点个数得出结论．

解答 解：∵f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x+m-1|是偶函数，
∴|x+m-1|=|-x+m-1|，
∴m=1．
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
作出y=g（x）与y=|x+$\frac{3}{4}$|的函数图象如图所示：

把y=x+$\frac{3}{4}$代入y=x²+2x+1得x²+x+$\frac{1}{4}$=0，
∵方程x²+x+$\frac{1}{4}$=0只有一解x=-$\frac{1}{2}$，∴直线y=|x+$\frac{3}{4}$|在（-$\frac{3}{4}$，0）上的函数图象与g（x）的图象相切，
由图象可知y=g（x）与y=|x+$\frac{3}{4}$|的函数图象有4个交点，
∴方程g（x）=|x+$\frac{3}{4}$|有4个实数根．
故选C．

点评 本题考查了偶函数的性质，方程的根与函数图象的关系，属于中档题．