Question

14．已知0＜a≤$\frac{π}{2}$，设函数f（x）=$\frac{{{{2016}^{x+1}}+2014}}{{{{2016}^x}+1}}$+sinx（x∈[-a，a]）的最大值为P，最小值为Q，则P+Q的值为4030．

Answer 1

分析 给出一个具体函数想研究最值，可以考虑函数的单调性，本题需要对分式型的式子进行变形．

解答 f（x）=$\frac{2016（201{6}^{x}+1）-2}{201{6}^{x}+1}+sinx$=2016+sinx+$\frac{-2}{201{6}^{x}+1}$，
∵0$＜a≤\frac{π}{2}$，f（x）在[-a，a]上单调递增，
∴P+Q=f（-a）+f（a）=4032-sina-$\frac{2}{201{6}^{-a}+1}$+sina-$\frac{2}{201{6}^{a}+1}$=4032-$\frac{2×201{6}^{a}}{1+201{6}^{a}}$-$\frac{2}{201{6}^{a}+1}$=4030，
故答案为：4030

点评 本题考查了函数的单调性与最值．对于函数的变形能力及具体函数的单调性的判定有很高的要求