题目内容
19．
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了n名电视观众，如图是观众年龄的频率分布直方图，已知年龄在[30，35）的人数为10人．（Ⅰ）完成下列2×2列联表：
| 文艺节目 | 新闻节目 | 总计 | |
| 大于或等于20岁至小于40岁 | 40 | ||
| 大于或等于40岁 | 30 | ||
| 总计 |
（Ⅱ）根据用分层抽样方法在收看文艺节目的观众中随机抽取6名进一步了解观看节目情况，最后在这6名观众中随机抽出3人获奖，记这获奖3人中年龄大于或等于40岁的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
参考公式与临界值表：K2=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
分析 （Ⅰ）求出n=100，由图可知大于或等于40岁的观众，可得列联表，代入计算出K2的值，与临界值比较后可得在犯错误的概率不超过0.001的前前下，认为收看文艺节目的观众与年龄有关；
（Ⅱ）由已知可得ξ的可能值为0、1、2、3，利用综合数计算出随机变量的分布列，代入数学期望公式，可得答案．
解答 解：（Ⅰ）由图可知$\frac{10}{n}=0.02×5$，所以n=100，又由图可知大于或等于40岁的观众有（0.04+0.03+0.02+0.01）×5×100=50，从而完成2×2列联表如下：
| 文艺节目 | 新闻节目 | 总计 | |
| 大于或等于20岁小于40岁 | 40 | 10 | 50 |
| 大于或等于40岁 | 20 | 30 | 50 |
| 总计 | 60 | 40 | 100 |
∵${K^2}=\frac{{100{{（40×30-20×10）}^2}}}{50×50×60×40}$=$\frac{50}{3}＞16.66＞10.828$…-（5分）
∴在犯错误的概率不超过0.001的前前下，认为收看文艺节目的观众与年龄有关…（6分）
（Ⅱ）用分层抽样方法应抽取20至40岁的观众人数为$\frac{40}{60}×6=4$（名），抽取大于40岁的观众人数为$\frac{20}{60}×6=2$（名）…（7分）
所以ξ的可能值为0、1、2…（8分）
$P（ξ=0）=\frac{C_4^3}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，$P（ξ=1）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$，$P（ξ=2）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$，…（10分）
故ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |
ξ的数学期望$Eξ=0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}=1$…（12分）
点评 本题考查的知识点是离散型随机变量的期望与方差，分层抽样方法，独立性检验是统计较为综合的题型，难度中档．
练习册系列答案
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