Question

4．已知正三棱锥P-ABC中，E，F分别是AC，PC的中点，若EF⊥BF，AB=2，则下列说法中正确的个数为（　　）
①EF⊥PC
②PA与BE所成角的正切值为$\sqrt{5}$
③正三棱锥P-ABC的外接球表面积为6π
④正三棱锥P-ABC的内切球表面积为$\frac{8π}{9}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 证明PA、PB、PC互相垂直，利用正方体的外接球、内切球，即可得出结论．

解答 解：对于①，∵E、F分别是AC，PC的中点，∴EF∥PA，
∵P-ABC是正三棱锥，
∴PA⊥BC（对棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，而BF∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，即①正确；
对于②，PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
∵BF=$\sqrt{5}$，∴PA与BE所成角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{1}$=$\sqrt{5}$，即②正确
对于③，以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，
又AB=2，∴PA=$\sqrt{2}$，
∴2R=$\sqrt{3}$PA=$\sqrt{6}$，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为：4πR²=6π，即③正确．
对于④，设正三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$×（3×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$）×r，
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}}$，∴正三棱锥P-ABC的内切球表面积不为$\frac{8π}{9}$，故④不正确．
故选：C．

点评 本题考查几何体的外接球、内切球的表面积的求法，判断几何体与球的关系，求出球的半径是解题的关键．