Question

9．三棱锥S-ABC及其三视图的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（　　）

• A． $\frac{112}{3}$π
• B． $\frac{64}{3}$π
• C． 32π
• D． 64π

Answer 1

分析 由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，取AC中点F，连BF，求出BS=4$\sqrt{2}$，可得三棱锥外接球的半径，即可得到答案．

解答 解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形
如图，取AC中点F，连BF，则
在Rt△BCF中，BF=2$\sqrt{3}$，CF=2，BC=4．
在Rt△BCS中，CS=4，所以BS=4$\sqrt{2}$．
设球心到平面ABC的距离为d，则
因为△ABC的外接圆的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以由勾股定理可得R²=d²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=（4-d）²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²，
所以d=2，该三棱锥外接球的半径R=$\sqrt{\frac{28}{3}}$，
所以  三棱锥外接球的表面积是4πR²=$\frac{112}{3}$π，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状是解答的关键．