Question

设x，y，z∈（0，1）．求证x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：方法一、构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），再计算f（0），f（1），结合f（x）的图象，即可得证；
方法二、构造边长为1的正三角形ABC，在AB，BC，AC上分别取D，E，F，使得AD=x，BE=z，CF=y，再由S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF＜S_△ABC，运用面积公式计算即可得证．

解答： 证法一：构造函数f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]
=（y+z-1）x+（yz+1-y-z），
∵0＜y＜1，0＜z＜1，
∴f（0）=yz+1-y-z=（1-y）（1-z）＞0，
f（1）=y+z-1+（yz+1-y-z）=yz＞0
由于函数f（x）的图象为一条直线，
则有当0＜x＜1，恒有f（x）＞0成立，
故原不等式成立．
证法二：构造边长为1的正三角形ABC，
在AB，BC，AC上分别取D，E，F，使得AD=x，BE=z，CF=y，
则BD=1-x，CE=1-z，AF=1-y，
由于S_△ADF+S_△BDE+S_△CEF＜S_△ABC，
即有

1

2

x（1-y）•sin60°+

1

2

z（1-x）•sin60°+

1

2

y（1-z）•sin60°＜

1

2

×1×1×sin60°，
即有x（1-y）+z（1-x）+y（1-z）＜1．
则原不等式成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查构造法证明不等式的方法：构造函数和构造图形法，考查推理和运算能力，属于中档题．