Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（$\frac{α}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求sin（$\frac{π}{6}$-α）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，即可．
（2）根据诱导公式和倍角公式化简即可．

解答 解：（1）由题意可知A=2，T=4（$\frac{5}{12}$-$\frac{π}{6}$）=π，ω=2，当x=$\frac{π}{6}$时取得最大值2，所以 2=2sin（2x+φ），所以φ=$\frac{π}{6}$，
函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
故答案为：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵f（$\frac{α}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{α}{4}$）=2sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
∴sin（$\frac{π}{6}$-α）=cos（α+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1-2×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$．

点评 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．