Question

15．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的体积为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据三棱柱外接球的表面积是16π，求出该球的半径R=2，根据正三棱柱底面边长是2，可得底面三角形的外接圆半径，从而可求三棱柱的侧棱长，即可求出该三棱柱的体积．

解答 解：∵该三棱柱外接球的表面积是16π，
∴4πR²=16π，
∴该球的半径R=2，
又正三棱柱底面边长是2，
∴底面三角形的外接圆半径r=$\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴该三棱柱的侧棱长是2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∴该三棱柱的体积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{4\sqrt{6}}{3}$=4$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．