Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，PA=2．求：
（1）直线PA与底面ABCD所成的角；
（2）直线PB与底面ABCD所成的角（精确到0.1°）；
（3）直线PC与底面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 由PA⊥平面ABCD可知，直线PA与底面ABCD所成的角为90°，直线PB与底面ABCD所成的角为∠PBA，直线PC与底面ABCD所成的角为∠PCA，分别求出两角的正切值即可得出所要求的线面角．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA与底面ABCD所成的角为90°．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA为直线PB与底面ABCD所成的角．
∴tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PBA=arctan$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈49.1°．
∴直线PB与底面ABCD所成的角约为49.1°．
（3））∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角．
∵四边形ABCD是矩形，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2．
∵tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}=1$．
∴∠PCA=45°，
∴直线PC与底面ABCD所成的角为45°．

点评 本题考查了线面角的定义与计算，属于基础题．