Question

求函数y=

x2+x+2

2x2+2x+1

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：将原函数整理成关于x的方程得：（2y-1）x²+（2y-1）x+y-2=0，该方程有解：若2y-1=0，求出y验证上面方程是否有解；若2y-1≠0，上面方程是关于x的一元二次方程，方程有解，所以△≥0，解该不等式便可得到y的范围，综合以上两种情况即可求出函数y的值域．

解答： 解：由原函数得：
2yx²+2yx+y=x²+x+2，整理成：（2y-1）x²+（2y-1）x+y-2=0，∴可将该式看成关于x的方程，方程有解；
若2y-1=0，即y=

1

2

，带入上面方程得：-

3

2

=0，∴y≠

1

2

；
若y≠

1

2

，上面的方程可以看成关于x的一元二次方程，方程有解，所以：
△=（2y-1）²+8（2y-1）≥0，解得y≤-

7

2

，或y≥

1

2

；
∵y≠

1

2

，∴原函数的值域为：(-∞，-

7

2

]∪(

1

2

，+∞)．

点评：考查将函数整理成关于x的方程，根据方程有解求值域的方法，一元二次方程的解和判别式△的关系．