Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a-c）（sinA+sinC）=（b-$\sqrt{3}$c）sinB
（1）求角A
（2）若f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A），求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理和余弦定理，求出cosA以及A的值；
（2）利用三角恒等变换化简f（x），根据三角函数的性质求出f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由（a-c）（sinA+sinC）=（b-$\sqrt{3}$c）sinB，
利用正弦定理 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，（不交代定理扣1分）
得$（a-c）（a+c）=（b-\sqrt{3}c）b$，
即 ${a^2}={b^2}+{c^2}-\sqrt{3}bc$；…（3分）
由余弦定理（不交代定理扣1分）得：
cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（5分）
由0＜A＜π，
则$A=\frac{π}{6}$…（7分）
（2）f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A）
=cos²（x+$\frac{π}{6}$）-sin²（x-$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1+cos（2x+\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$
=$\frac{1}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x，…（12分）
令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{2}$+kπ≤x≤π+kπ，k∈Z，（不交代k∈Z合计扣1分）
∴f（x）的单调递增区间为[$\frac{π}{2}$+kπ，π+kπ]，k∈Z．…（14分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是中档题．