微信运动和运动手环的普及.增强了人民运动的积极性.每天一万步称为一种健康时尚.某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步活动.经过几个月的扎实落地工作后.学校想了解全校师生每天一万步的情况.学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式.不少于16千步为超健康生活方式者.其他为一般生活方式者.学校委托数学组调� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式，不少于16千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为200人，高一学生人数为700人，高二学生人数600人，高三学生人数500，从中抽取n人作为调查对象，得到了如图所示的这n人的频率分布直方图，这n人中有20人被学校界定为不健康生活方式者．
（1）求这次作为抽样调查对象的教师人数；
（2）根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数（四舍五入精确到整数步）；
（3）校办公室欲从全校师生中速记抽取3人作为“每天一万步”活动的慰问对象，计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励0元，超健康生活方式者表彰奖励20元，一般生活方式者鼓励性奖励10元，利用样本估计总体，将频率视为概率，求这次校办公室慰问奖励金额X的分布列和数学期望．

分析（1）利用频率分布直方图的性质与分层抽样的原理即可得出．
（2）利用频率分布直方图的性质与中位数的定义即可得出．
（3）有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为0.2，超健康生活方式者的概率为0.1，一般生活方式者的概率为0.7，0≤X≤60，X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答解：（1）由频率分布直方图知[0，4）的频率为0.05×4=0.2，于是$\frac{20}{n}=0.2，n=100$，
由分层抽样的原理知这次作为抽样调查对象的教师人数为$100×\frac{200}{200+700+600+500}=100×\frac{1}{10}=10$人．
（2）由频率分布直方图知[0，4）的频率为0.2，[4，8）的频率为0.25，[8，12）的频率为0.3，
设中位数为x，则0.2+0.25+（x-8）×0.075=0.5，于是$x=\frac{26}{3}$（千步）；
（3）有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为0.2，超健康生活方式者的概率为0.1，
一般生活方式者的概率为0.7，0≤X≤60，X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，
则$P（X=0）={0.2^3}=0.008，P（X=10）=C_3^1×0.7×{0.2^3}=0.084$，$P（X=20）=C_3^2×{0.7^2}×0.2+C_3^1×0.1×{0.2^2}=0.306$，
$P（X=30）={0.7^3}+A_3^3×0.2×0.7×0.1=0.427$，$P（X=40）=C_3^2×{0.1^2}×0.2+C_3^2×{0.7^2}×0.1=0.153，P（X=50）=C_3^2×{0.1^2}×0.7=0.021$，
P（X=60）=0.1³=0.001．

X	0	10	20	30	40	50	60
P	0.008	0.084	0.306	0.427	0.153	0.021	0.001

E（X）=0×0.008+10×0.084+20×0.306+30×0.427+40×0.153+50×0.021+60×0.001=27（元）
所以这次校办公室慰问奖励金额X的数学期望为27元．

点评本题考查了频率分布直方图的性质、中位数的定义、分层抽样的原理、相互独立与互斥事件的概率计算公式分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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