Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=PD=$\sqrt{5}$，E，F分别是棱AD，PC的中点．
（Ⅰ）证明 AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若二面角P-AD-B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BE⊥AD，PE⊥AD，然后证明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）说明∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角，∠PEB=60°，证明EB⊥PB，EB⊥BC，推出EB⊥平面PBC，说明∠EFB为EF与面PBC所成的角通过求解三角形求解直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）证明：
∵BA=BD=$\sqrt{2}$，PA=PD=$\sqrt{5}$，又E为AD的中点，
∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴AD⊥平面PBE；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角，即∠PEB=60°，
又在Rt△PDE中∠PED=90°，PD=$\sqrt{5}$，DE=1
∴PE=2      同理可得BE=1
∴在△PBE中，由余弦定理得PB=$\sqrt{3}$．
∴BE²+PB²=PE²
∴∠PBE=90°
∴EB⊥PB
又EB⊥AD，BC∥AD
∴EB⊥BC
∴EB⊥平面PBC，
∴∠EFB为EF与面PBC所成的角
又在Rt△PBC中∠PBC=90°，PB=$\sqrt{3}$，BC=2
∴PC=$\sqrt{7}$
又F为PC中点∴$BF=\frac{PC}{2}$
∴$BF=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ 而EB=1
∴在Rt△EFB中由勾股定理有
∴$EF=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$∴sin∠EFB=$\frac{1}{{\frac{{\sqrt{11}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{11}}}{11}$
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．