Question

【题目】在四面体中，已知，.

（1）当四面体体积最大时，求的值；

（2）当时，设四面体的外接球球心为，求和平面所成夹角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取中点，连接，，过点作，由题意可知当平面时，四面体的面积最大，求出此时的的值即可得解；

（2）在线段上取，使，为的内心，过作平面，则球心在直线上，设，球的半径为，由勾股定理求得后，由即可得解.

（1）取中点，连接，，过点作,

由可得，，，

由可得平面，

又平面，所以平面平面，所以平面，

即即为四面体的高，由，可知当平面四面体面积最大，

此时即的值为；

（2）当时，，则为的中点，

所以，，

在线段上取，使，易知为的内心，，

过作平面，则球心在直线上，

球心为，过点作，连接，，则，

设，球的半径为，则，

则，

，

所以，解得，

所以，，，

设和平面所成夹角为，

由平面可知，

所以和平面所成夹角的正弦值为.