题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,
(
为常数)对于任意的
恒成立.
(1)若,求
的值;
(2)证明:数列是等差数列;
(3)若,关于
的不等式
有且仅有两个不同的整数解,求
的取值范围.
【答案】(1)1;(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)将代入已知等式即可求得结果;
(2)利用可得到递推关系
,将
换成
后两式作差可得到
,从而证得结论;
(3)将不等式化为,令
,则不等式
的正整数解只有两个,通过分析可知除
以外只能有
个
符合要求;当
时,通过导数可求得
,分别讨论
、
和
时
的取值,得到符合题意的范围后,解不等式求得结果.
(1)当时,
,
,解得:
;
(2)由(1)知:,
,
,
,则
,
,又
,
,
,
∴对任意
,
成立,
数列
是等差数列;
(3)由(2)可知:,即
,
即,
,
令,题目条件转化为满足不等式
的正整数解只有两个,
若符合,则
,即
;若
符合,则
,
;
若符合,则
为任意实数,即除
以外只能有
个
符合要求.
当,
时,
,解得:
,
令,则
,
令,则
,
当时,
恒成立,
在
上单调递增,
,
,
当
时,至少存在
、
、
满足不等式,不符合要求;
当时,对于任意
,
都不满足不等式,
也不满足,
此时只有、
满足;
当时,只有
符合;
故,即
,解得:
或
;
的取值范围是
.
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