题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若函数有两个不同的零点
.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)求证:.(其中
为
的极小值点)
【答案】(1);(2)(ⅰ)
;(ⅱ)证明见解析.
【解析】
1
先求其导函数,转化为
,即求
的最小值即可;
2
结合第一问的结论得
不单调,故
;设
有两个根,设为
,
,且
,可得原函数的单调性,把问题转化为
,即可求解结论.
转化为先证明不等式,若
,
,
,则
再把原结论成立转化为证
;构造函数
一步步推其成立即可.
(1)由,得
,
设,
;则
;
由,解得
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
因为函数在
上单调递增,所以
在
恒成立
所以;
所以,实数的取值范围是:
.
(2)(i)因为函数有两个不同的零点,
不单调,所以
.
因此有两个根,设为
,且
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增;
又,
,当
充分大时,
取值为正,因此要使得
有两个不同的零点,则必须有
,即
;
又因为;
所以:,解得
,所以
;
因此当函数有两个不同的零点时,实数
的取值范围是
.
(ⅱ)先证明不等式,若,
,则
.
证明:不妨设,即证
,
设,
,
,
只需证且
;
因为,
,
所以在
上单调递减,
在
上单调递增,
所以,
,从而不等式得证.
再证原命题.
由得
;
所以,两边取对数得:
;
即.
因为,
所以,
因此,要证.
只需证;
因为在
上单调递增,
,所以只需证
,
只需证,即证
,其中
;
设,
,只需证
;
计算得;
.
由在
上单调递增,
得,
所以;即
在
上单调递减,
所以:;
即在
上单调递增,所以
成立,即原命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题.
(1)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量(百斤)与使用堆沤肥料
(千克)之间对应数据如下表
使用堆沤肥料 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
产量的增加量 | 3 | 4 | 4 | 4 | 5 |
依据表中的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量
是多少百斤?
(2)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(注:,且
);
前8小时内的销售量(单位:份) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
频数 | 10 | x | 16 | 6 | 15 | 13 | y |
若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求的取值范围.
附:回归直线方程为,其中
.