Question

13．（1）求函数y=x-2-$\sqrt{2x-1}$的值域；
（2）求函数f（x）=2x²-2ax+3在[-1，1]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）换元，利用配方法，可得函数y=x-2-$\sqrt{2x-1}$的值域；
（2）配方，分类讨论，即可求函数f（x）=2x²-2ax+3在[-1，1]的最小值g（a）．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{2x-1}$，则x=$\frac{{t}^{2}+1}{2}$，t≥0
∴y=$\frac{{t}^{2}+1}{2}$-2-t=$\frac{1}{2}（t-1）^{2}-2$，
∵函数y=$\frac{1}{2}（t-1）^{2}-2$，在区间[0，1]为减函数，（1，+∞）上为增函数，
∴y≥-2，
∴函数的值域为[-2，+∞）；
（2）由f（x）=2x²-2ax+3知，函数的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{a}{2}$≤-1时，即a≤-2时，g（a）=f（-1）=2a+5；
当-1＜$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2时，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{2}$；
当$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2时，g（a）=f（1）=5-2a；
综上，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a+5，a≤-2}\\{3-\frac{{a}^{2}}{2}，-2＜a＜2}\\{5-2a，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，正确换元、分类讨论是关键．