Question

已知f（x）=

x-a

2x2+b

为R上的奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点（1，

1

3

）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{a_n}：a₁=

1

2

，a_n+1²=2a_n•f（a_n），设b_n=

1

an2

-2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）设数列{

n

an2

}的前n项和S_n，若S_n+

1

2n-2

-m＞0对一切n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用f（0）=0，f（1）=

1

3

，建立方程组，求出a，b，即可求f（x）的表达式；
（2）由a_n+1²=2a_n•f（a_n）=2•

an2

2an2+1

，可得

1

an+12

-2=

1

2

（

1

an2

-2），即可证明数列{b_n}是等比数列；
（3）令C_n=S_n+

1

2n-2

，证明{C_n}为递增数列，即可求m的取值范围．

解答： （1）解：∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0．
∵f（1）=

1

3

∴

- a b =0 1-a 2+b = 1 3

，∴a=0，b=1，
∴f（x）=

x

2x2+1

   …（3分）
（2）证明：∵a_n+1²=2a_n•f（a_n）=2•

an2

2an2+1

，
∴

1

an+12

-2=

1

2

（

1

an2

-2）
∵b_n=

1

an2

-2，
∴b_n+1=

1

2

b_n，
∴数列{b_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列．…（7分）
（3）解：∵b_n=

1

2n-2

=

1

an2

-2，
∴

1

an2

=

1

2n-2

+2，
∴

n

an2

=

n

2n-2

+2n…（8分）
∵S_n+

1

2n-2

-m＞0对一切n∈N^*恒成立，
∴m＜S_n+

1

2n-2

对一切n∈N^*恒成立．
令C_n=S_n+

1

2n-2

，则
∵C_n+1-C_n=S_n+1+

1

2n-1

-S_n-

1

2n-2

=

n

2n-1

+2n+2＞0，
∴{C_n}为递增数列
∴（C_n）_min=C₁=6，
∴m＜6 …（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了等比关系的确定，考查了数列的单调性，是中档题．