Question

6．已知点F₂，P分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a\;}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点与右支上的一点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），${\overrightarrow{O{F}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{{F}_{2}M}}^{2}$且2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=a²+b²，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据向量知识可知M为PF₂的中点，结合${\overrightarrow{O{F}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{{F}_{2}M}}^{2}$且2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=a²+b²可求出∠OF₂M，从而得出M的坐标，再得出P点坐标，代入双曲线方程化简即可得出e．

解答 解：∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_{2}}）$，∴M是PF₂的中点，
∵${\overrightarrow{O{F}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{{F}_{2}M}}^{2}$，∴OF₂=F₂M=c，
∴2$\overrightarrow{O{F}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=2c²cos（π-∠OF₂M）=a²+b²=c²，
∴∠OF₂M=$\frac{2π}{3}$．
∴M（$\frac{3c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}c}{2}$），∵F₂（c，0），M是PF₂的中点，
∴P（2c，$\sqrt{3}$c），
∵P在双曲线上，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，即4b²c²-3a²c²-a²b²=0，
∵b²=c²-a²，∴4c²（c²-a²）-3a²c²-a²（c²-a²）=0，
即4c⁴-8a²c²+a⁴=0，
∵e=$\frac{c}{a}$，∴4e⁴-8e²+1=0，解得e²=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$或e²=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍），
∴e=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了双曲线的性质，平面向量的数量积运算，属于中档题．