Question

18．已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正实数），满足f（0）=g（0）；函数F（x）=f（x）+g（x）+b定义域为D．
（1）求a的值；
（2）若存在x₀∈D，使F（x₀）=x₀成立，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：${10^{f（n）}}•{（\frac{4}{5}）^{g（n）}}$＜4．
（参考数据：lg3=0.3010，${（\frac{4}{5}）^9}$=0.1342，${（\frac{4}{5}）^{16}}$=0.0281，${（\frac{4}{5}）^{25}}$=0.0038）

Answer 1

分析 （1）由f（0）=g（0），解方程可得a=1；
（2）求得f（x）+g（x）+b的解析式，由条件讨论x≥1，x＜1时，分离参数，解不等式可得b的范围；
（3）设$G（n）={10^{f（{n\;}）}}•{（{\frac{4}{5}}）^{g（{\;n\;}）}}$，由n为正整数，化简G（n），讨论G（n）的单调性，即可得证．

解答 解：（1）∵f（0）=g（0），即|a|=1，
又a＞0，∴a=1．         
（2）由（1）知，f（x）+g（x）+b=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x+b，x≥1}\\{{x}^{2}+x+b+2，x＜1}\end{array}\right.$．
当x≥1时，有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．             
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此时b≤-3．       
当x＜1时，有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2  
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此时b≤-2．            
故要使得f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，
则实数b的取值范围应（-∞，-2]；
（3）证明：设$G（n）={10^{f（{n\;}）}}•{（{\frac{4}{5}}）^{g（{\;n\;}）}}$．    
由n为正整数，
∴$G（n）={10^{n-1}}•（{\frac{4}{5}}）{\;^{{n^2}+2n+1}}＞0$．                    
∴$\frac{{G（{n+1}）}}{G（n）}=\frac{{{{10}^n}•（{\frac{4}{5}}）{\;^{{{（{n+1}）}^2}+2（{n+1}）+1}}}}{{{{10}^{n-1}}•（{\frac{4}{5}}）{\;^{{n^2}+2n+1}}}}=10×（{\frac{4}{5}}）{\;^{2n+3}}$．     
当$\frac{{G（{n+1}）}}{G（n）}＜1$时，$10×（{\frac{4}{5}}）{\;^{2n+3}}＜1$，即$（{2n+3}）lg（{\frac{4}{5}}）＜-1$，
亦即$2n+3＞\frac{-1}{3lg2-1}$，∴$n＞\frac{1}{2-6lg2}-\frac{3}{2}≈3.7$．                        
由于n为正整数，因此当1≤n≤3时，G（n）单调递增；
当n≥4时，G（n）单调递减．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．
又$G（3）={10^2}×{（{\frac{4}{5}}）^{16}}=100×0.0281=2.81$，
$G（4）={10^3}×{（{\frac{4}{5}}）^{25}}=1000×0.0038=3.8$，
∴G（n）≤G（4）＜4．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数方程的转化思想，同时考查不等式的证明，注意运用单调性，考查推理和运算求解能力，属于中档题．