Question

17．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AB、BC的中点，则平面A₁DE与平面C₁DF所成二面角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A₁DE与平面C₁DF所成二面角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A₁（2，0，2），D（0，0，0），E（2，1，0），C₁（0，2，2），F（1，2，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{DF}$=（1，2，0），
设平面DA₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），
设平面DC₁F的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，1），
设平面A₁DE与平面C₁DF所成二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面A₁DE与平面C₁DF所成二面角的余弦值为$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．