Question

5．如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，求二面角E-AF-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理，证明AE⊥平面PAD即可．
（2）根据二面角的定义，作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：由AC=AB=BC，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．（5分）（2）解：因为AH⊥PD，
由（1）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=$\sqrt{3}$，
此时tan∠EHA=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此AH=$\sqrt{2}$，
∵AD=2，∴∠ADH=45°，则PA=2．
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
过E作EO⊥AC于O，
则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES
则∠ESO是二面角E-AF-C的平面角
在Rt△AOE中，EO=AE•sin 30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=AE•cos 30°=$\frac{3}{2}$，
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO•sin 45°=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
又SE=$\sqrt{E{O}^{2}+S{O}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
在Rt△ESO中，cos∠ESO=$\frac{SO}{SE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即所求二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．（12分）

点评 本题主要考查空间直线垂直的判断以及空间二面角的求解和应用，利用相应的判定定理以及二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．