Question

【题目】设函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）。

（Ⅰ）若在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）求证：当时，不等式。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；

【解析】试题分析：（1）首先利用切线的斜率建立方程，求出；利用导数求得函数的极值点，极值点介于之间，由此求得的取值范围；（2）先用分析法，将原不等式等价变形为，利用导数求出左边函数的最小值和右边函数的最大值即可证得原不等式成立.

试题解析：

（1） 因为，所以

又据题意，得，所以，所以

所以，

所以

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

所以函数仅当时，取得极值

又函数在区间上存在极值，所以，所以.

故实数的取值范围是

（2）当时，，即为.

令，则.

再令，则.

又因为，所以.

所以在上是增函数.

又因为.

所以当时，.

所以在区间上是增函数.

所以当时，，又，故

令，则.

因为，所以.

所以当时，.故函数在区间上是减函数.

又，

所以当时，，

所以，即.