Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在区间[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）=a（x﹣2）2+b﹣4a，

∵a＞0，开口向上，对称轴x=2，

∴f（x）在[0，1]递减，

∴f（0）=b=1，f（1）=b﹣3a=﹣2，

∴a=b=1；

（2）解：∵f（x）=x2﹣4x+1≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，

∴ 在x∈（0，+∞）上恒成立，

∵双勾函数y=x+ 在（0，1]递减，在[1，+∞）递增，

∴当x=1时，x﹣4+ 取得最小值，且为2﹣4=﹣2，

则m≤﹣2．

【解析】（1）求得f（x）的对称轴方程，可得f（x）在[0，1]递减，即可得到最值，解方程可得a，b的值；（2）由题意可得 在x∈（0，+∞）上恒成立，运用对号函数的单调性，可得右边函数的最小值，即可得到m的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)，还要掌握二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)的相关知识才是答题的关键．