Question

3．下列函数中，周期为π，且在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减的是（　　）

• A． y=sinxcosx
• B． y=sinx+cosx
• C． y=tan（x+$\frac{π}{4}$）
• D． y=2cos²2x-1

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．

解答 解：由于y=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x的周期为$\frac{2π}{2}$=π，且在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，故满足条件．
由于y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的周期为2π，故不满足条件．
由于y=tan（x+$\frac{π}{4}$）的周期为π，在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上，x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），故函数单调递增，故不满足条件．
由于y=2cos²2x-1=cos4x 的周期为$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，故不满足条件，
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．