Question

已知正方形的中心为点M（1，0），一条边所在的直线方程是x-3y+5=0，求正方形其他三边所在的直线的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：设正方形的4个顶点为A、B、C、D，在直线x-3y+5=0上的边为AB则有AB∥CD，AD⊥AB，BC⊥AB，直线x-3y+5=0的斜率为

1

3

，所以CD的斜率为

1

3

，AD、BC的斜率都为-3，正方形的中心到四边的距离相等，由此根据点到直线的距离公式能求出该正方形其它3边所在直线方程．

解答： 解：设正方形的4个顶点为A、B、C、D，在直线x-3y+5=0上的边为AB
则有AB∥CD，AD⊥AB，BC⊥AB，
直线x-3y+5=0的斜率为

1

3

，
所以CD的斜率为

1

3

，AD、BC的斜率都为-3，
正方形的中心到四边的距离相等
根据点到直线的距离公式，M（1，0）到直线x-3y+5=0的距离为

|1+5|

1+9

=

6

10

，
设CD的方程为x-3y+b=0

|1+b|

1+9

=

6

10

，
解得b=-7，b=5（舍弃，这是AB）
所以边CD所在直线的方程为x-3y-7=0
设与AB垂直的边所在直线的方程为y=-3x+b，即3x+y-b=0

|3-b|

9+1

=

6

10

，
解得b=-3，或b=9，
这两个解一个是AD的，另一个是BC的
所以AD和BC的方程为3x+y+3=0，3x+y-9=0．
因此该正方形其它3边所在直线方程分别为x-3y-7=0，3x+y-9=0，3x+y+3=0．

点评：本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与直线的位置关系的合理运用．