Question

15．已知直线l经过点（4，0），且倾斜角为$\frac{3}{4}π$，圆M以$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$为圆心，过极点．
（Ⅰ）求l与M的极坐标方程；
（Ⅱ）判断l与M的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意画出图形，分别在两直角三角形中求得l与M的极坐标方程；
（Ⅱ）化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆M的圆心，由点到直线距离公式判断l与M的位置关系．

解答 解：（Ⅰ）如图，
设l上任一点P（ρ，θ），在△OAP中，由正弦定理$\frac{ρ}{{sin\frac{π}{4}}}=\frac{4}{{sin（\frac{3π}{4}-θ）}}$，即ρ（cosθ+sinθ）=4；
设圆M上任一点Q（ρ，θ），连接OM延长交圆于B，在直角三角形OBQ中$ρ=2\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$，即ρ=2cosθ+2sinθ；
（Ⅱ）把l与M的极坐标方程化为直角坐标方程，l：x+y=4，
M：x²+y²-2x-2y=0，
∵圆心M（1，1）到l的距离d=$\frac{{|{1+1-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$=r，∴l与M相切．

点评 本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．