Question

10．已知x，y，z＞0．a，b，c是x，y，z的-个排列．求证：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$≥3．

Answer 1

分析 运用排序不等式证明不等式，可先设定变量间的大小关系，再构造出相应的顺序和，乱序和与反序和，最后运用它们间的大小关系证明不等式．

解答 证明：不妨设x≥y≥z＞0，则$\frac{1}{z}$≥$\frac{1}{y}$≥$\frac{1}{x}$，
根据排序不等式，构造出相应的乱序和与反序和，即：
①a，b，c与$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{z}$的“乱序和”为：$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$+$\frac{c}{z}$，
②a，b，c与$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{z}$的“反序和”为：x•$\frac{1}{x}$+y•$\frac{1}{y}$+z•$\frac{1}{z}$=3，
因为，乱序和≥反序和，
所以，$\frac{a}{x}$+$\frac{b}{y}$+$\frac{c}{z}$≥3，即证．

点评 本题主要考查了运用排序不等式证明不等式，即“乱序和≥反序和”，其中合理构造这两种“和”是解决问题的关键，属于中档题．