Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，$asinB=\sqrt{3}bcosA$．
（1）求角A的大小；
（2）若$a=\sqrt{3}$，$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．
（2）由三角形的面积公式求出ab=2，再根据余弦定理即可求出b+c的值．

解答 解：（1）asinB=$\sqrt{3}$bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，A是三角形内角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=2，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-6，
∴b+c=3．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．