Question

已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米．
（1）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是10米，则应如何设计
隧道才能保证此货车正常通行？
（2）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，请你推测椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小？

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：应用题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）以长轴所在直线为x轴，建立坐标系，求出椭圆方程，即可求出结论；
（2）利用

16

a2

+

9

b2

=1≥2

16×9 a2b2

，即可得出结论．

解答： 解：（1）以长轴所在直线为x轴，建立坐标系，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）则a=5，椭圆过（2，3），代入可得b=

5 21

7

，
∴隧道顶部离地面至少

5 21

7

米；
（2）椭圆的面积公式为πab，
∵椭圆过点（4，3），∴

16

a2

+

9

b2

=1≥2

16×9 a2b2

，
当且仅当

16

a2

=

9

b2

=

1

2

时取等号，∴a=4

2

，b=3

2

，会使同等隧道长度下开凿的土方量最小．

点评：本题考查椭圆方程，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．