Question

已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）∵T=（

π

4

-

π

12

）=

2π

3

，
∴ω=

2π

T

=3，
∴f（x）=2sin（3x+φ）．
∵点（

π

12

，2）在图象上，
∴2sin（3×

π

12

+φ）=2，即sin（φ+

π

4

）=1，
∴φ+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即φ=2kπ+

π

4

．
故f（x）=2sin（3x+

π

4

）．（6分）
（2）h（x）=2sin（3x+

π

4

）cos3x
=2（sin3xcos

π

4

+cos3xsin

π

4

）cos3x
=

2

（six3xcos3x+cos²3x）
=

2

2

（sin6x+cos6x+1）
=sin（6x+

π

4

）+

2

2

．
由2kπ-

π

2

≤6x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得函数h（x）的单调递增区间为[

kπ

3

-

π

8

，

kπ

3

+

π

24

]（k∈Z）．（12分）