Question

已知f（x）=sinx+

3

cosx（x∈R）．求：
（1）若x∈R，求f（x）的值域，并写出f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈(-

π

2

，

π

3

)，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）由题意，f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)，
∴f（x）的值域为[-2，2]，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，
解得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，
故函数的单调递增区间为[2kπ-

5

6

π，2kπ+

1

6

π]，k∈Z；
（2）∵x∈(-

π

2

，

π

3

)，
∴x+

π

3

∈(-

π

6

，

2π

3

)，
令t=x+

π

3

，则y=sint在(-

π

6

，

π

2

)上递增，在(

π

2

，

2π

3

)上递减，
∴f(x)＞sin(-

π

6

)=-

1

2

，fmax(x)=sin

π

2

=1，
∴-1＜f（x）≤2，
故f（x）的值域为（-1，2]．