Question

10．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤1-x}\\{3x≥y}{\;}\end{array}\right.$，则目标函数z=2x+4y的最大值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$，
平移直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$经过点A时，
直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x=y}\\{y=1-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
即A（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
此时z=2×$\frac{1}{4}$+4×$\frac{3}{4}$=$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．