Question

【题目】如图,在直三棱柱中,AB=BC，D、E分别为的中点.

(1)证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线段；

(2)设AB=1, ,求二面角A1—AD—C1的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°.

【解析】试题分析：（1）设为中点,连接,先证明 是平行四边形，再证明平面 ，从而可得平面 ，可得与直线与都垂直且相交，进而可得结论；（2）连接作，垂足为，连接，根据二面角的平面角定义可知为二面角的平面角，在直角三角形中求出正切值即可得结果.

试题解析：(Ⅰ) 设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．

解：（Ⅱ）连接A1E，由AB=1,AA1＝AC＝可知，A1ACC1为正方形，

∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面

ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．

由已知AB＝ED=1, AA1＝AC＝，∴AE=A1E=1，

EF＝＝，

tan∠A1FE＝=，∴∠A1FE＝60°．

所以二面角A1－AD－C1为60°．