Question

【题目】已知函数， R.

（1）证明：当时，函数是减函数；

（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的R，使得，且.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 当时，函数是奇函数；当时，函数是偶函数；当且时，函数是非奇非偶函数，（3）见解析

【解析】试题分析：

（1）任取，设，计算可得，据此可得，函数是减函数.

(2)分类讨论可得：当时，函数是偶函数，当时函数是奇函数，当且时，函数是非奇非偶函数.

(3)由（1）知，当时函数是减函数，结合函数的单调性分别证明的存在性(利用函数的值域)和唯一性(利用反证法)即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）任取，设，则，

∵，所以，又，∴，即，

所以当时，函数是减函数.

(2)当时， ，所以，所以函数是偶函数，

当时， ， ，

所以函数是奇函数，

当且时， ， ，

因为且，

所以函数是非奇非偶函数.

(3)由（1）知，当时函数是减函数，

所以函数在上的值域为，

因为，所以存在，使得.

假设存在使得，

若，则，若，则，

与矛盾，故是唯一的，

假设，即或，则或，

所以，与矛盾，故.