Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面平面,,

分别为棱的中点.

（1）求证: ；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）连接，易证，结合平面平面可知平面，∴，又，∴平面，从而得证；（2）先证明两两垂直，分别以方向为轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量的坐标，代入公式，即可得到所成的锐二面角的余弦值

试题解析：

（1）连接.

∵，

∴是等边三角形.

又为棱的中点，∴.

∵平面平面,平面平面， 平面.

∴平面.

∵平面，∴.

∵，

∴是菱形.

∴.

又分别为的中点，

∴，∴.

又，∴平面.

又平面，∴.

（2）连接，

∵，

∴为正三角形.

∵为的中点，∴.

又∵平面平面，

且平面平面，

平面，

∴平面.

∵两两垂直，

∴分别以方向为轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设.

设平面的一个法向量为，

由，

令，得.即.

由（1)，知平面，

∴平面的一个法向量为.

设平面与平面所成的锐二面角大小为，

则，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.