Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，6）
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$共线，且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的夹角公式计算即可，
（Ⅱ）根据共线和向量垂直即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，6），
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-2）}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2+12=10，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{10}{\sqrt{5}×2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$共线，
∴可设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{b}$=（-2λ，6λ），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（1+2λ，2-6λ），
∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$垂直，
∴（1+2λ）+2（2-6λ）=0，
解得λ=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（-1，3）

点评 本题考查平面向量的夹角公式和向量共线和向量垂直，考查了计算能力，是基础题．