Question

13．已知定义在R上的函数f（x）为偶函数，且满足f（x）=f（x+2），f（-1）=1，若数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=a_n+1，a₁=$\frac{1}{2}$，则f（a₅）+f（a₆）=（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由已知数列递推式求得a₅、a₆的值，再结合偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），f（-1）=1求得f（a₅）+f（a₆）．

解答 解：由2S_n=a_n+1，得2S_n-1=a_n（n≥2），
∴2a_n=a_n+1-a_n，得a_n+1=3a_n（n≥2），
又由2S_n=a_n+1，a₁=$\frac{1}{2}$，得a₂=1．
∴${a}_{5}=1×{3}^{3}=27$，${a}_{6}=1×{3}^{4}=81$．
由偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），可得函数f（x）的周期为2，
∴f（a₅）=f（27）=f（-1）=1；
f（a₆）=f（81）=f（1）=f（-1）=1，
∴f（a₅）+f（a₆）=1+1=2．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了函数周期性与奇偶性的应用，是中档题．