Question

1．已知函数f（x）=e^x+ax-2，其中a∈R，若对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有x₂•f（x₁）-x₁•f（x₂）＜a（x₁-x₂）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 将不等式变形为：$\frac{f（{x}_{1}）+a}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）+a}{{x}_{2}}$恒成立，构造函数h（x）=$\frac{f（x）+a}{x}$，转会为当x₁＜x₂时，h（x₁）＜h（x₂）恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．

解答 解：∵对于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，都有x₂•f（x₁）-x₁•f（x₂）＜a（x₁-x₂）成立，
∴不等式等价为$\frac{f（{x}_{1}）+a}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）+a}{{x}_{2}}$成立，
令h（x）=$\frac{f（x）+a}{x}$，则不等式等价为当x₁＜x₂时，h（x₁）＜h（x₂）恒成立，
即函数h（x）在（0，+∞）上为增函数；
h（x）=$\frac{{e}^{x}+ax-2+a}{x}$，
则h′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+2-a}{{x}^{2}}$≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴xe^x-e^x+2-a≥0；即a-2≤xe^x-e^x恒成立，
令g（x）=xe^x-e^x，∴g′（x）=xe^x＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴g（x）＞g（0）=-1；
∴2-a≥1；
∴a≤1．
∴a的取值范围是（-∞，1]．
故选：C

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件将不等式进行转化，多次构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．