Question

已知点F（-

3

，0）（c＞0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线与抛物线y=

x2

6

+

3

2

相切，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

3-a2

=1，双曲线的渐近线方程为y=±

3-a2

a

x，由已知条件推导出方程±

3-a2

a

(x+

3

)=

x2

6

+

3

2

只有一个解，由此能求出结果．

解答： 解：∵点F（-

3

，0）（c＞0）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，
∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

3-a2

=1，
∴双曲线的渐近线方程为y=±

3-a2

a

x，
∴过F且平行于双曲线渐近线的直线方程为y=±

3-a2

a

（x+

3

），
∵过F且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线y=

x2

6

+

3

2

相切，
∴方程±

3-a2

a

(x+

3

)=

x2

6

+

3

2

只有一个解，
整理，得

x2

6

-

3-a2

a

x+

3

2

-

9-3a2

a

=0或

x2

6

+

3-a2

a

x+

3

2

+

9-3a2

a

=0，
∴△=

3-a2

a2

-

2

3

（

3

2

-

9-3a2

a

）=0或△=

3-a2

a2

-

2

3

（

3

2

+

9-3a2

a

）=0，
解得a²=

9

2

（舍），a²=

3

4

，a=

3

2

，e=2．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．