Question

已知λ∈R，函数f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（

π

2

-x），且f（-

π

3

）=f（0），求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：运用二倍角的正弦、余弦公式及两角差的正弦公式，化简和整理，再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求区间．

解答： 解：函数f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos²（

π

2

-x），
即有f（x）=λsinxcosx-cos²x+sin²x=

1

2

λsin2x-cos2x，
由于f（-

π

3

）=f（0），则

1

2

λsin（-

2π

3

）-cos（-

2π

3

）=0-1，
即有-

3

4

λ=-

3

2

，解得，λ=2

3

．
则f（x）=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
则f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简，考查二倍角公式和两角和差的正弦公式及运用，考查正弦函数的单调区间，属于中档题．