Question

16．已知直线l：y+2=0和圆C：x²+y²-2y=0，动圆M与l相切，而且与C内切．求当M的圆心距直线g：x-y-2=0最近时，M的方程．

Answer 1

分析 设圆M的圆心为M（x₀，y₀），半径为r，由题目条件可以求出圆心M的轨迹$x_0^2=4{y_0}$．根据当M的圆心距直线g：x-y-2=0最近的条件，利用圆心距和二次函数的性质即可求出M的方程．

解答 解：设圆M的圆心为M（x₀，y₀），半径为r，
则依题意有$\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}=|{{y_0}+2}|-1（{{y_0}＞-2}）$…（2分）
即：$\sqrt{x_0^2+{{（{{y_0}-1}）}^2}}={y_0}+1（{{y_0}≥-1}）$，
也即：$x_0^2=4{y_0}$…（4分）
设M（x₀，y₀）到直线g的距离为d，
则$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}-2}|}}{{\sqrt{2}}}$…（6分）
即$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}（{\frac{1}{4}x_0^2-{x_0}+2}）$…（8分）
当且仅当x₀=2时，d最小，
此时由r=|y₀+2|得r=3…（10分）
∴所求圆M的方程为（x-2）²+（y-1）²=9…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．