Question

20．设k∈R，函数f（x）=lnx-kx．
（1）若k=2，求曲线y=f（x）在P（1，-2）处的切线方程；
（2）若方程f（x）=0无根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，根据方程无根，得到关于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-k，x＞0$，
当k=2时，f'（1）=-1，
由点斜式写出切线方程，
即：x+y+1=0；
（2）当k＜0时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，而f（1）f（$\frac{1}{e}$）＜0，函数有零点，不合题意；
当k=0时，函数f（x）=lnx唯一零点x=1，不符合题意；
当k＞0时，令$f'（x）=\frac{1}{x}-k=0$，得$x=\frac{1}{k}$，
x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	$（{0，\frac{1}{k}}）$	$\frac{1}{k}$	$（{\frac{1}{k}，+∞}）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$ln\frac{1}{k}-1$	↘

∴$x=\frac{1}{k}$为极大值点且为最大值点．
∴$f（{\frac{1}{k}}）=ln\frac{1}{k}-1＜0$．
∴$k＞\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．